测量误差的统计特性

1.测量值点列图

在相同测量条件下，对某钢球工件的直径测量150次，得到一个测量样本（x1，x2，……，x150 )，以测量序数i为横坐标，以测得值xi或其误差为纵坐标，画出测量值点列图（measurement point plot),如图2 - 1所示。由该测量值点列图可见，xi出现后，不能预见xi+1出现的大小和方向，但就样本数据的分布规律而言具 有如下特征：

①数据集中在算术平均值7.335附近，如不存在系统误差，它接近约定真值；

②数据分布在7.085?7.585之间，即可确定测量值分布及其误差分布的大致范围；

③正负误差的数目大致相同；

④误差的总和大致趋于零。

以上所述的四个统计特征，分别称之为单峰性、有界性、对称性和抵偿性。这些特征都反映了随机误差的统计规律，其中误差的抵偿性是zui本质的统计特征，它常作为判定误差是否具有随机性的标志。

由测量数据的测量值点列图可以粗略看出测量误差的统计特性，如果利用测量数据作出统计直方图，就会更形象地看出其概率特征。

2.统计直方图和概率密度分布图

将上述测量样本按数据的大小划分为11组，组距△x= 0.05mm，用每组出现的数据个数 (称为频数mi)除以样本数n，得频率，再除以组距△x，得频率密度。表2-1中列出了子区间的中心值xi及其频数mi和频率fi。

表2-1 测量钢球工件直径的统计数据

根据表2 - 1中数据，可按下列步骤作出统计直方图（statistical histogram)，如图2-2所示：

①以xi为横坐标，为纵坐标，建立坐标系。

②在横坐标上划出等分的子区间。本例的子区间数目为11，各子区间的中心值为xi，各子区间的间距△x = 0.05 mm。

③划出各子区间的直方柱。如观测值落入2号子区间（7. 11mm，7. 16mm)的频数为7， 频率为 7/150=4. 67%。

④把各直方柱顶部中点用直线连接起来，便得到一条由许多折线连接起来的曲线。当测量样本数n无限增加，分组间隔△x趋于零时，图2-2中直方图折线就变成一条光滑的曲线，即测量总体的概率(分布)密度曲线，记为f(x)。这就是用实验方法由样本数据得到的概率密度分巧图（probability density distribution plot)。

概率密度曲线f(x)完好地描述了该测量(值)总体分布及其误差分布的统计规律„由概率论易知，f(x)具有下列两个性质：

式中：a≤x≤b—置信区间；

P(a≤x≤b)—x出现在[a，b]内的概率，也称为置信概率(或置信水平），简记为符号P; a——显著性水平（又称显著度或危险率）。

上述各量的几何意义如图2 - 3所示。

对于不同的被测量，其概率密度分布函数的形式可能是不同的。在测量不确定度评定中， 经常提到的分布有两点分布、反正弦分布、矩形分布、三角分布、梯形分布、正态分布以及投影分布等。上述对测量总体及其分布的实验统计方法，在实际工作中经常使用。在对精密仪器 的误差分析与计量检定工作中，为了使实验统计方法具有足够的可靠程度，在绘制统计直方图时应注意以下问题。

(1) 样本大小

样本大小即重复测量次数n。显然n越大，样本呈现的分布规律越稳定。但n太大，不仅资源浪费过大，而且难以保证多次测量都满足相同的测量条件。实践表明，在仅要确定误差的分布范围时，可取n=50?200;若要确定误差分布规律时，则可取n=200~1000

(2)子区间的间距△x

子区间间距的下限应大于仪器分辨力，并使子区间有适当的数目。子区间数目随n的增大而增加，一般，子区间个数的选取方法大致如下：

•当n = 50?100时，子区间的个数是6?10;

•当n = 100?200时，子区间的个数是9?12;

•当n = 200?500时，子区间的个数是12?17;

•当n>500时，子区间的个数是20。

也可利用下列两个公式之一来计算分组数m或间距△x，即